구사과

알고리즘 하시던 분들을 현실에서 만나게 되면 자주 듣는 질문이 "왜 ID가 구사과인가" 라는 질문이다. PS를 시작한 것은 고등학교 때지만 "컴덕후" 로 살던 초등학생 시절이 있었다. 2008년 집에서 새로 산 (보급형) 컴퓨터에 윈도우 비스타가 깔려 있었는데, 잘 알려졌다시피 비스타는 새 컴퓨터에서 돌리기에도 조금 많이 느렸다. 이 문제를 해결하기 위해 유출된 윈도우 7 비공개 베타를 주워서 설치했고, 신세계가 열렸다. 컴덕후 생활의 시작이었다. 시간이 지났고 그때 활동하던 커뮤니티에서 윈도우 8에 대한 이야기가 돌기 시작했다. "플랫 UI" 라는 미명하에 등장한 추태는 초등학생인 나에게 큰 상처를 남겼다. 이것이 미래라면 나는 도망치겠다고, 2달 동안 밥만 먹고 컴퓨터를 붙잡은 끝에 OS X Snow..

Example 1 (https://koosaga.com/319 마지막 단락) 그래프가 주어질 때 이 그래프의 maximal independent set 을 구하는 문제를 생각해 보자. maximal independent set은 maximum independent set을 approximate할 수 없다. 하지만 maximal matching과 $\Delta+1$ edge coloring을 구하는 데 사용할 수 있고 이들은 각각 그들의 optimal variant의 constant approximation이다. 다음 과정을 정점이 1개 이상일 때까지 반복하면 된다: 각 노드에 $[0, 1]$ 사이의 random real을 배정한다. 이를 $r(v)$ 라고 하자. 만약 어떠한 노드에 대해 $\max_{w ..

PA 2016. Shuffle 문제에서 주어진 셔플 연산은 카드 덱을 뒤집는 연산과 동일합니다. 이 사실은 수학적 귀납법으로 증명 가능합니다. $2$ 개의 카드에 대해서는 자명히 뒤집는 연산과 동일합니다. $2^k$ 개의 카드에 대해서는, 덱을 절반으로 나눈 후 각각을 뒤집고 둘의 순서를 바꾸는 것이니, 이 역시 뒤집는 연산과 동일합니다. 카드 덱을 두번 뒤집는 건 아무것도 안하는 것과 동일하니, $t$ 가 홀수일 때 배열을 뒤집은 후 출력해 주면 됩니다. ROI 2022 P5. Максимизация выигрыша 입력으로 주어진 문자열의 길이가 $19$ 이하일때만 문제를 해결할 수 있어도 됩니다. 만약 맨 앞 문자가 전체 문자열의 최댓값이 아닐 경우, 가장 가까운 최댓값을 맨 앞 문자로 옮깁니다. ..

https://dl.acm.org/doi/pdf/10.5555/982792.982916 Cut-cycle duality에 의해 $G$ 에서 minimum cut을 찾는 것은 $G^*$ 에서 minimum cycle을 찾는 것과 동일하다. 아이디어는, $G^*$ 에서 적당한 사이클 $C$를 찾은 다음, $C$의 *안* 과 *밖* 에 대해서 분할 정복을 하고, 이후 $C$의 안과 밖을 오가는 사이클을 찾는 것이다. 분할 정복이 성립하려면 일단 $C$가 $G^*$ 의 Face들을 공평하게 쪼개야 할 것이다. 이런 $C$는 $O(n)$ 시간에 찾을 수 있다. $G^*$ 의 모든 Face를 대각선에 $\infty$ 가중치 간선 넣고 대충 triangulate하자. 다음, $G^*$ 에서 아무 정점을 잡고, sho..

대충 이 노트 의 끝자락에서 한 얘기를 정리했다. 그래프가 2-edge-connected 라고 가정하자. (그렇지 않다고 하더라도 코드가 크게 바뀌지 않는다) 알고리즘은 재귀적이다. 그래프 $G$ 의 DFS 트리에 대해서, 특정 서브트리의 노드를 모두 3-connected-component로 바꿔주는 알고리즘이 존재하고, 이 알고리즘을 bottom-up 으로 호출하면서 "서브트리의 답을 합쳐주면" 된다. 2-connected 인 경우를 예시로 생각해 보자. 서브트리를 컴포넌트로 분할하는 알고리즘이 있다면, bottom-up 알고리즘은 절선으로 연결되어 있지 않으며 루트를 포함하는 컴포넌트들을 가져온 후 이들을 합쳐주면 된다. 3-connected 의 경우에는 컴포넌트 하나만 가져올 수는 없으나, 대신 D..

https://arxiv.org/pdf/2211.09606.pdf 생각보다 내용이 많이 쉬워서 살짝 날먹이라고도 생각했다. 일단 핵심 내용은 다음과 같은 알고리즘의 존재성이다: $s, t$ flow가 $T$ 이하일때까지 $s, t$ flow를 incremental하게 관리하는 $O(Tm)$ 알고리즘이 존재한다. 일단 이 알고리즘에 대해서 논의하기 전에, 이러한 알고리즘이 존재하면 어떻게 전체 문제를 해결할 수 있는지 살펴보자. 플로우의 값이 $T$ 이하일 때까지는 $O(Tm)$ 알고리즘을 돌린다. 플로우의 값이 $T$ 를 넘어갔을 때는, 일단 플로우의 값이 $T$ 라고 하고 계속 간선 삽입 쿼리를 받자. 플로우의 값이 $T (1 + \epsilon)$ 을 넘어가면 위 값이 틀리게 된다. 이것이 일어나려면..

Min-plus convolution두 수열 $A = [a_0, a_1, ..., a_n]$, $B = [b_0, b_1,..., b_m]$ 이 있을 때 $c_k = \min_{k = i + j}(a_i + b_j)$ 를 구하는 것을 min-plus convolution이라고 한다. 저걸 $\max$ 로 바꾸면 max-plus convolution이다. min plus convolution은 3sum이나 apsp에서 오는 reduction은 없지만, 아직 subquadratic algorithm이 알려지지는 않은 상태 (cite: https://browse.arxiv.org/pdf/1702.07669.pdf).수열이 convex하다는 것을, $a_{i+1} - a_i$ 가 단조증가 한다는 것으로 정의한다..

IOI 2023 Day 2 대회가 종료되었다. 한국 학생들의 최종 성적은 다음과 같다. 박상훈, 43 / 60 / 65.5 / 31 / 100 / 54, 353.5점, 22등 (금메달) 이동현, 52 / 70 / 65.5 / 31 / 100 / 16, 334.5점, 28등 (금메달) 이성호, 43 / 40 / 61 / 23 / 65 / 35, 267점, 58등 (은메달) 반딧불, 43 / 60 / 65.5 / 14 / 65 / 16, 263.5점, 62등 (은메달) 금메달 2개, 은메달 2개로 평균 이상의 성적을 거두었으며, 작년과도 동일한 성적이다. 축하합니다! Day 1은 전례가 없이 어려웠는데, Day 2도 만만치 않게 어려운 문제들이 나왔다. 2018 Day 2와 유사한 결과가 나왔으니, 전례는 ..

(9/5 23:27 - 다 썼습니다) IOI 2023 Day 1 대회가 종료되었다. 올해 대회의 개최지는 헝가리로, 한국 팀은 2019년 이후 처음으로 현지에서 오프라인으로 대회를 진행하고 있다. 한국 학생들의 성적은 다음과 같다. Day 1 기준이고, Day 2 점수를 감안하지 않았음을 유념하라. 이동현, 52 / 70 / 65.5, 187.5점, 29등 반딧불, 43 / 60 / 65.5, 168.5점, 33등 박상훈, 43 / 60 / 65.5, 168.5점, 33등 이성호, 43 / 40 / 61, 144점, 56등 모든 학생들의 성적이 금메달 / 은메달의 경계선에서 멀지 않아서 Day 2의 결과가 매우 중요할 것으로 보인다. 한국 학생들은 매년 Day 2 결과가 더 좋은 편이다. Day 2에서 ..

Algorithmic Engagements 2021. Koszulki 수열을 역순으로 정렬한 후 값이 $a_k$ 이상인 수를 출력하면 됩니다. POI 2019/2020. Najmniejsza wspólna wielokrotność 최소공배수가 $R - L$ 에 대해 지수적으로 커져서 탐색해야 할 쌍이 많지 않다는 사실을 사용합니다. $R - L = 1$ 인 경우, 최소공배수는 그냥 두 수의 곱입니다. $X(X+1) = M$ 을 만족하는 $X$ 가 존재한다면, $X, X + 1$ 을 출력하면 됩니다. 이 경우는 따로 처리합니다. 이차 방정식을 풀거나 이분 탐색을 하시면 됩니다. $R - L \geq 2$ 인 경우, 최소공배수는 적어도 $L(L+1)(L+2) / 2$ 이상입니다. 고로, $L \leq 2 \..