구사과

정말 갑작스럽지만, 저번 주 3주 전 6주 전 (...) 암트랙의 Empire Builder를 타본 후기를 써 보려고 한다. 3월 6일 ~ 3월 8일은 공휴일이 끼어 있는 주도 아니고 아무 일도 없는 시기지만, 과제가 없길래 2주 전쯤에 충동적으로 티켓을 구매했다. 보스턴 → 시애틀 비행기, Empire Builder, 시카고 호텔 1박, 시카고 → 보스턴 비행기 표를 끊고, 평소처럼 살다가 전날 최소한의 준비물만 챙겨 출발했다. Day 1 Seattle 4시 반 기상 후 Boston Logan에서 6시 50분 비행기를 타고 시애틀로 갔다. 비행 시간은 약 6시간 정도로, 시차 때문에 3시간이 당겨져서 도착 시간은 10시였다. 몇천 km를 넘어서 Pacific에 왔다는 실감은 그다지 들지 않았다. 날씨가..

Undirected graph $G = (V, E)$ 에 대해, $G$의 $t$-spanner $H = Spanner(G,t) = (V, E^\prime)$ 는 다음 성질을 만족한다: $E^\prime \subseteq E$ 모든 $u, v \in V$ 에 대해, $dist(H, u, v) \le dist(G, u, v) \times t$ $E^\prime$ 의 크기가 작음 즉, 최단 경로를 Approximate하게 보존하는 Sparsification이다. Equivalent하게, 다음과 같이 표현할 수도 있다. $E^\prime \subseteq E$ 모든 $(u, v) \in E$ 에 대해, $dist(H, u, v) \le dist(G, u, v) \times t$ $E^\prime$ 의 크기가 작..

Even-Shiloach Algorithm은 Unweighted directed graph $G = (V, E)$ 에 대해서 incremental / decremental SSSP를 빠르게 해결하는 알고리즘이다. Naive하게는 매번 BFS를 해서 $O(m^2)$ 시간에 해결할 수 있는데, 이 알고리즘을 사용하면 이를 $O(nm)$ 으로 최적화할 수 있다. $O(m^2)$ 에 비해서 엄청나게 효율적이진 않지만 분명히 nontrivial한 bound이고, 내가 아는 state-of-the-art method는 전부 다 Near-linear가 아니라 $O(nm)$ 에 훨씬 가까운 바운드이다. 그것도 복잡한 알고리즘들이 대다수. 이 글에서는 원래 Even-Shiloach Algorithm보다 강한 statem..

알고리즘 하시던 분들을 현실에서 만나게 되면 자주 듣는 질문이 "왜 ID가 구사과인가" 라는 질문이다. PS를 시작한 것은 고등학교 때지만 "컴덕후" 로 살던 초등학생 시절이 있었다. 2008년 집에서 새로 산 (보급형) 컴퓨터에 윈도우 비스타가 깔려 있었는데, 잘 알려졌다시피 비스타는 새 컴퓨터에서 돌리기에도 조금 많이 느렸다. 이 문제를 해결하기 위해 유출된 윈도우 7 비공개 베타를 주워서 설치했고, 신세계가 열렸다. 컴덕후 생활의 시작이었다. 시간이 지났고 그때 활동하던 커뮤니티에서 윈도우 8에 대한 이야기가 돌기 시작했다. "플랫 UI" 라는 미명하에 등장한 추태는 초등학생인 나에게 큰 상처를 남겼다. 이것이 미래라면 나는 도망치겠다고, 2달 동안 밥만 먹고 컴퓨터를 붙잡은 끝에 OS X Snow..

Example 1 (https://koosaga.com/319 마지막 단락) 그래프가 주어질 때 이 그래프의 maximal independent set 을 구하는 문제를 생각해 보자. maximal independent set은 maximum independent set을 approximate할 수 없다. 하지만 maximal matching과 $\Delta+1$ edge coloring을 구하는 데 사용할 수 있고 이들은 각각 그들의 optimal variant의 constant approximation이다. 다음 과정을 정점이 1개 이상일 때까지 반복하면 된다: 각 노드에 $[0, 1]$ 사이의 random real을 배정한다. 이를 $r(v)$ 라고 하자. 만약 어떠한 노드에 대해 $\max_{w ..

PA 2016. Shuffle 문제에서 주어진 셔플 연산은 카드 덱을 뒤집는 연산과 동일합니다. 이 사실은 수학적 귀납법으로 증명 가능합니다. $2$ 개의 카드에 대해서는 자명히 뒤집는 연산과 동일합니다. $2^k$ 개의 카드에 대해서는, 덱을 절반으로 나눈 후 각각을 뒤집고 둘의 순서를 바꾸는 것이니, 이 역시 뒤집는 연산과 동일합니다. 카드 덱을 두번 뒤집는 건 아무것도 안하는 것과 동일하니, $t$ 가 홀수일 때 배열을 뒤집은 후 출력해 주면 됩니다. ROI 2022 P5. Максимизация выигрыша 입력으로 주어진 문자열의 길이가 $19$ 이하일때만 문제를 해결할 수 있어도 됩니다. 만약 맨 앞 문자가 전체 문자열의 최댓값이 아닐 경우, 가장 가까운 최댓값을 맨 앞 문자로 옮깁니다. ..

https://dl.acm.org/doi/pdf/10.5555/982792.982916 Cut-cycle duality에 의해 $G$ 에서 minimum cut을 찾는 것은 $G^*$ 에서 minimum cycle을 찾는 것과 동일하다. 아이디어는, $G^*$ 에서 적당한 사이클 $C$를 찾은 다음, $C$의 *안* 과 *밖* 에 대해서 분할 정복을 하고, 이후 $C$의 안과 밖을 오가는 사이클을 찾는 것이다. 분할 정복이 성립하려면 일단 $C$가 $G^*$ 의 Face들을 공평하게 쪼개야 할 것이다. 이런 $C$는 $O(n)$ 시간에 찾을 수 있다. $G^*$ 의 모든 Face를 대각선에 $\infty$ 가중치 간선 넣고 대충 triangulate하자. 다음, $G^*$ 에서 아무 정점을 잡고, sho..

대충 이 노트 의 끝자락에서 한 얘기를 정리했다. 그래프가 2-edge-connected 라고 가정하자. (그렇지 않다고 하더라도 코드가 크게 바뀌지 않는다) 알고리즘은 재귀적이다. 그래프 $G$ 의 DFS 트리에 대해서, 특정 서브트리의 노드를 모두 3-connected-component로 바꿔주는 알고리즘이 존재하고, 이 알고리즘을 bottom-up 으로 호출하면서 "서브트리의 답을 합쳐주면" 된다. 2-connected 인 경우를 예시로 생각해 보자. 서브트리를 컴포넌트로 분할하는 알고리즘이 있다면, bottom-up 알고리즘은 절선으로 연결되어 있지 않으며 루트를 포함하는 컴포넌트들을 가져온 후 이들을 합쳐주면 된다. 3-connected 의 경우에는 컴포넌트 하나만 가져올 수는 없으나, 대신 D..

https://arxiv.org/pdf/2211.09606.pdf 생각보다 내용이 많이 쉬워서 살짝 날먹이라고도 생각했다. 일단 핵심 내용은 다음과 같은 알고리즘의 존재성이다: $s, t$ flow가 $T$ 이하일때까지 $s, t$ flow를 incremental하게 관리하는 $O(Tm)$ 알고리즘이 존재한다. 일단 이 알고리즘에 대해서 논의하기 전에, 이러한 알고리즘이 존재하면 어떻게 전체 문제를 해결할 수 있는지 살펴보자. 플로우의 값이 $T$ 이하일 때까지는 $O(Tm)$ 알고리즘을 돌린다. 플로우의 값이 $T$ 를 넘어갔을 때는, 일단 플로우의 값이 $T$ 라고 하고 계속 간선 삽입 쿼리를 받자. 플로우의 값이 $T (1 + \epsilon)$ 을 넘어가면 위 값이 틀리게 된다. 이것이 일어나려면..

Min-plus convolution두 수열 $A = [a_0, a_1, ..., a_n]$, $B = [b_0, b_1,..., b_m]$ 이 있을 때 $c_k = \min_{k = i + j}(a_i + b_j)$ 를 구하는 것을 min-plus convolution이라고 한다. 저걸 $\max$ 로 바꾸면 max-plus convolution이다. min plus convolution은 3sum이나 apsp에서 오는 reduction은 없지만, 아직 subquadratic algorithm이 알려지지는 않은 상태 (cite: https://browse.arxiv.org/pdf/1702.07669.pdf).수열이 convex하다는 것을, $a_{i+1} - a_i$ 가 단조증가 한다는 것으로 정의한다..