구사과

2019년 APIO 2019 B번 문제 Bridges의 Almost linear time 풀이가 존재하는지에 대해서 질문을 남긴 적이 있다. 당시의 나는 그러한 풀이가 존재할 것이라고 믿었다. Dynamic MST를 Poly-log time에 해결할 수 있기 때문이다. 하지만 이제는 다시 한 번 생각해 봐야 할 것 같다. 문제를 요약하면 다음과 같다. (원래 문제에서는 트리가 아니라 그래프가 주어지지만, 여기서는 트리라고 가정하고 Hardness를 증명한다. 즉, 문제 상황보다 더 강한 증명이다.)크기 $n$ 의 가중치 있는 트리가 주어졌을 때, 다음 두 연산을 처리하여라:$Update(e, w)$: 간선 $e$ 의 가중치를 $w$ 로 갱신한다.$Query(v, x)$: 정점 $v$ 에서 가중치 $x$ ..

잠자고 있던 퀄리티 낮은 scribe 몇개를 기록용으로 올린다.Hamiltonian Path in $O(2^nn^c)$ time, $O(n^c)$ spaceKarp의 1982년 논문이라고 들었다.존재 여부 대신 경우의 수 mod p를 세자. random p를 잡아서 decision problem으로 바꿀 수 있다.길이 n의 (simple) path를 세는 대신 길이 n의 walk를 세는 건 쉬움. 그냥 sumA^{n-1}(i, j). 그런데 길이 n의 walk가 모든 정점을 방문하면 그게 hamilton path이다. 그래서 모든 정점 부분 집합에 대해서 포배하면 끝.TSP in $O(4^n n^c)$ time, $O(n^c)$ space모든 $i, j$ 에 대해 $i$ 에서 출발해서 모든 정점을 다 돌..

이 글 을 보고 작성하였다.BOJ 1763 트리 색칠 이나 AGC 023 F. 01 on Tree 문제는 다음과 같은 최적화 문제로 표현할 수 있다:트리의 모든 topological order $p$ 중에서, \sum_{p(i) 예를 들어 트리 색칠은 $a_i = 1, b_j = C[j]$ 고 01 on Tree는 $a_i = V_i, b_j = 1 - V_j$ 라고 할 수 있다.이 문제를 푸는 알고리즘은 다음과 같다. 만약에 어떤 루트가 아닌 노드의 $b_v / a_v$ 가 트리 전체에서 최대면, 최적해에서 $p$ 와 $v$ 가 인접하게 등장함을 증명할 수 있다. 구체적인 증명은, $[p \ldots w v]$ 의 꼴일 때 $v, w$ 를 바꿔서 손해를 볼 수가 없음. 그래서 저런 최대를 찾은 후 $(..