구사과

CCC 2025 S1. Positioning Peter’s Paintings답은 $2 \min(\max(A, C) + B + D, A + C + \max(B, D))$ 입니다.CCC 2025 S3. Pretty Pens$Q = 0$ 인 경우의 풀이를 먼저 정리합시다. 변호사가 종류를 바꾸지 않을 경우, 각 종류에 대해서 덕의 최댓값을 구한 후 이를 합한 것이 정답이 됩니다. 종류를 바꾸게 된다면, 현재 최댓값으로 선정된 업보 중 덕을 최소화하는 것을 빼서, 선정되지 않은 업보로 교체하는 것이 최적입니다. 즉, 이 때 얻을 수 있는 이득은 (최댓값 중 덕 최솟값) - (최댓값 아닌 업보 중 덕 최댓값) 으로 계산할 수 있습니다. 이 이득 값이 $0$ 이상이면, 최댓값의 합에 이를 더해주면 됩니다. 이렇게 ..

그래프의 최대 독립 집합 문제는, 그래프가 주어졌을 때 최대 크기의 정점 부분집합 $S$를 골라서, $S$ 안에 있는 두 정점을 잇는 간선이 없게끔 하는 문제이다. 이 문제는 NP-complete임이 아주 잘 알려져 있다. 심지어 $O(n^{0.99})$-factor로 approximate할 수 있으면 $\textsf{NP} = \textsf{ZPP}$ 이다 (사실상 $\textsf{P} = \textsf{NP}$ 라는 뜻이다.) 어차피 제대로 못 푸는 문제이니 대신 다음과 같은 그리디 알고리즘을 생각해 볼 수 있다.순열 $\pi$ 를 잡고, 그 순서대로 정점을 순회한다. $\pi$ 는 모든 길이 $n$ 의 순열 중 랜덤하게 샘플.만약 현재 정점과 인접한 정점 중 $S$ 에 있는 정점이 없으면 현재 정점..

최대 차수가 $\Delta$ 인 그래프를 $(\Delta + 1)$ 개의 색으로 색칠하는 문제를 생각해 보자. 이 문제는 정점을 아무 순서로 보면서 남는 색을 배정해 주면 선형 시간에 쉽게 해결할 수 있다. 그러니 간선이 추가되고 삭제되는 쿼리를 넣어보자. 쿼리당 $O(\Delta)$ 시간에 문제를 해결하는 것은 쉽다:간선이 삭제되면 아무것도 하지 않는다.간선이 추가되었고, 만약 두 정점의 색이 다르다면, 한 정점에 대해서 남는 색을 배정해 준다. 남는 색을 찾아줘야 하기 때문에 $O(\Delta)$ 시간이 필요하다.더 빠른 알고리즘은 없을까? 이 문제를 처음 다룬 것은 내가 알기로는 Bhattacharya et al. 2018 이고, 당시에는 expected amortized $O(\log \Delta..