구사과

https://epubs.siam.org/doi/epdf/10.1137/1.9781611973099.139 Andreas Bjorklund는 그래프 이론에 대수적 방법을 접목시켜서 50년짜리 SOTA를 여럿 깬 것으로 유명하다. 최근에 논문 중 하나를 읽어볼 기회가 생겼는데 생각보다 훨씬 elementary한 방법이라서 놀랐다. 간단하게 요약하면 좋을 것 같아서 짧은 노트를 써 본다. 문제는 "그래프가 있고 K개의 정점이 마크되어 있을 때 이 정점들을 모두 지나는 최소 길이 simple cycle을 찾는 문제" 이고, 시간 복잡도 aim은 $O(2^k poly(N))$ 이다. 풀이는 다음과 같다. 먼저 찾을 사이클의 시작점을 $k$ 개 중 하나로 고정하자. 다음과 같은 walk $w = \{s, v_1,..

일반적인 그래프에서 효율적으로 해결할 수 있는 문제들을, 간선이 추가되고 제거되는 등의 업데이트가 가해질 때도 효율적으로 해결할 수 있는지를 연구하는 분야를 Dynamic Graph Algorithm이라고 부른다. 이 분야에 대해서는 최근 많은 연구가 진행되고 있으며, 여러 차례의 멤버십 글로도 이 분야의 다양한 최신 기술과 테크닉을 소개한 바 있다. 이 글에서 소개할 주제는 Decremental Graph Algorithm을 얻을 수 있는 프레임워크 중 하나인 Congestion Balancing 이다. 어떠한 알고리즘이 decremental하다는 것은, 간선 추가 쿼리는 처리할 수 없으나 제거 쿼리는 처리할 수 있다는 것을 뜻한다. Decremental algorithm 그 자체로는 실용적 가치가 존..

2월의 Push-Relabel algorithm 관련 글에 이어서 Push-relabel에 기반한 다항 시간 MCMF 알고리즘 (Cost Scaling)에 대해서 다룰 예정이다. 이 글에서는 일반적으로 알려진 Successive Shortest Path Algorithm보다 훨씬 더 효율적인 알고리즘을 다룬다.MCMF (Minimum-Cost Maximum-Flow) 문제는 알고리즘 대회 입문서에 다 소개되어 있는 중요한 문제이다. 2월 중순에 글이 올라온 뒤, 3월 1일 Almost-Linear Time Minimum Cost Flow 가 가능하다는 사실이 알려져서 많은 화제를 모았다. 당연하지만 이론전산에서 아주 중요한 연구 결과이고, 저자들은 아마 권위있는 상 하나 정도는 수상하지 않을까 싶다. ..

Pisinger Algorithm Subset Sum 문제는, positive integer multiset S와 정수 t가 주어졌을 때, 합이 t인 S의 부분집합이 있는지를 찾는 문제이다. S의 원소 범위가 1 이상 M 이하의 정수라고 가정하자. $M$ 에 대한 dependency가 없이 풀려면 당연히 NP-hard이다. 그냥 DP를 하면 $O(n^2M)$ 이다. 각 숫자를 prefix sum으로 처리하면 $O(nM^2)$이다. Generating function으로 $O(nM \log nM)$ 에 푸는 풀이가 비교적 최근에 발견되었다. 꽤 깔끔한 $O(nM)$ 풀이를 서술 일단 첫 번째 Lemma는, 이 문제를 모든 수가 [-M, M] 인 multiset S에서 합이 1 = F[j][k + a[i]]..

그래프의 최대 유량 (Maximum Flow) 를 찾는 문제는 웬만한 알고리즘 대회 입문서에는 다 소개되어 있는 중요한 문제이다. 일반적으로 최대 유량을 찾기 위해서는 Edmonds-Karp, Dinic과 같은 알고리즘을 사용한다. 이 알고리즘의 특징은 빈 그래프에서 시작해서 유량을 증가시키는 "증가 경로" 를 찾는 것을 반복하는 식으로 작동한다는 것이다. Dinic 알고리즘은 최악의 경우 $O(V^2E)$ 에 작동하지만 실제로는 이보다 훨씬 효율적으로 작동한다. 하지만 그럼에도 선형 시간에 가까울 정도로 빠르지는 않고, 한계가 분명히 있는 알고리즘이다. 이 글에서는 Push-relabel 이라고 하는 새로운 플로우 알고리즘을 설명한다. 예전에 유량 관련 알고리즘을 정리할 때도 간략하게 설명한 적이 있는..

1. Introduction MapReduce 라는 프로그래밍 프레임워크는 대용량의 데이터를 처리하는 데 있어서 높은 성능을 보여주고, Apache Hadoop과 같은 오픈 소스 구현체들을 통해서 실용적으로도 그 가치를 증명하였다. 이 글에서는 그래프 최적화 문제를 푸는 데 효과적인 방법 중 하나인 Primal-Dual Method를 MapReduce 프레임워크에서 적용하는 새로운 프레임워크를 소개하고, 이를 통해서 Densest Subgraph Problem의 Near-linear time algorithm을 얻고자 한다. 정확히는, 이 글에서는 $O(\frac{\log n}{\epsilon^2})$ 번의 MapReduce iteration을 통하여 Densest Subgraph problem의 $(1..

Algorithmic Engagements 2010. Rectangles 2 부분 직사각형의 크기가 $w \times h$ 라면, 그 둘레는 $2(w+h)$ 이고, 등장 횟수는 $(n-w+1)(m-h+1)$ 입니다. 이를 토대로 모든 가능한 경우를 나열한 후 횟수를 합해주면 됩니다. Algorithmic Engagements 2010. Coins 문자열을 수열로 변환합니다. 앞면에 대해서는 $1$ 을, 뒷면에 대해서는 $-k$ 를 적어줍시다. 이렇게 하면, 구간의 합이 $0$ 인 것과 앞면의 수가 뒷면의 수보다 $k$ 배 많이 나온 것이 동치입니다. 고로 구간 합이 0인 가장 긴 구간을 찾아야 합니다. 위 수열의 부분합 $S[i] = \sum_{i = 1}^{n} A[i]$ 를 구해줍시다. 이제 답은 $..

Result Analysis 이번 서울 리저널에서의 각 대학 별 상위 팀은 다음과 같다. 별 일 없다면 상위 3팀이 진출할 것이다. 서울대학교: FSM (World Finals 진출 확정) KAIST: DO Solve (World Finals 진출 확정) 숭실대학교: LongestPathToWF (World Finals 진출 매우 유력) 성균관대학교: iota24 (World Finals 진출 가능성 약간 존재) 고려대학교: TLE NIE TAK 서울대학교의 FSM 팀은 2020년 대회를 우승한 Let Us Win ICPC WF 팀과 동일한 멤버로 출전하였다 (김세빈, 윤교준, 이민제). 2020년에도 신입생 팀으로 ICPC Regional Champion을 차지한 팀으로, UCPC 2021, SCPC ..

작년에 쓴 인예 풀이가 도움이 되었다는 말씀을 전해 주신 분들이 몇 있었다. 이번에도 문제가 백준 온라인 저지에서 상당 부분 채점이 되기 때문에 간단히 풀이를 적어보려고 한다. 자세하게 설명할 여력이 안 되는 점에는 양해를 구한다. 일단 DFG 외에는 백준에 전부 제출해서 맞은 코드들이지만, 풀이가 틀릴 가능성도 있다. A. Best Student 여러 풀이가 있지만 내가 생각하기에 AC받기 제일 쉬운 풀이는 다음과 같다. (대회장 환경에 따라 시간 초과가 날 수도 있지만, 안 날 것 같다.) 구간을 크기 $B = 100$의 버킷 1000개로 쪼개자. 모든 $0 \le i \le j \le N / B$ 에 대해, 구간 $[iB, jB - 1]$ 에서 가장 많이 등장하는 숫자를 $O(N^2/B)$ 에 전처..

가중치 있는 방향 그래프 $G$ 에서 두 정점 $s, t$ 가 쿼리로 주어질 때, $s$ 에서 $t$ 로 가는 최단 경로를 구하는 문제를 흔히 모든 쌍 최단 경로 문제 (All-Pair Shortest Path, APSP) 문제라고 부른다. APSP 문제는 그래프 이론의 기초적인 문제 중 하나로, Floyd-Warshall Algorithm을 사용하여 $O(n^3)$ 시간에 해결하는 방법이 아주 잘 알려져 있으며 알고리즘을 공부하다 보면 누구나 접하게 될 기초 알고리즘 중 하나이다. Floyd Warshall Algorithm은 APSP 문제에 대해서 다음과 같은 자료구조를 만드는 알고리즘이라고 볼 수 있다: 자료 구조의 초기화에는 $O(n^3)$ 이 걸린다. 자료 구조는 $O(n^2)$ 의 메모리를 사..