구사과

일반적인 그래프에서 효율적으로 해결할 수 있는 문제들을, 간선이 추가되고 제거되는 등의 업데이트가 가해질 때도 효율적으로 해결할 수 있는지를 연구하는 분야를 Dynamic Graph Algorithm이라고 부른다. 이 분야에 대해서는 최근 많은 연구가 진행되고 있으며, 여러 차례의 멤버십 글로도 이 분야의 다양한 최신 기술과 테크닉을 소개한 바 있다. 이 글에서 소개할 주제는 Decremental Graph Algorithm을 얻을 수 있는 프레임워크 중 하나인 Congestion Balancing 이다. 어떠한 알고리즘이 decremental하다는 것은, 간선 추가 쿼리는 처리할 수 없으나 제거 쿼리는 처리할 수 있다는 것을 뜻한다. Decremental algorithm 그 자체로는 실용적 가치가 존..

2월의 Push-Relabel algorithm 관련 글에 이어서 Push-relabel에 기반한 다항 시간 MCMF 알고리즘 (Cost Scaling)에 대해서 다룰 예정이다. 이 글에서는 일반적으로 알려진 Successive Shortest Path Algorithm보다 훨씬 더 효율적인 알고리즘을 다룬다.MCMF (Minimum-Cost Maximum-Flow) 문제는 알고리즘 대회 입문서에 다 소개되어 있는 중요한 문제이다. 2월 중순에 글이 올라온 뒤, 3월 1일 Almost-Linear Time Minimum Cost Flow 가 가능하다는 사실이 알려져서 많은 화제를 모았다. 당연하지만 이론전산에서 아주 중요한 연구 결과이고, 저자들은 아마 권위있는 상 하나 정도는 수상하지 않을까 싶다. ..

Pisinger Algorithm Subset Sum 문제는, positive integer multiset S와 정수 t가 주어졌을 때, 합이 t인 S의 부분집합이 있는지를 찾는 문제이다. S의 원소 범위가 1 이상 M 이하의 정수라고 가정하자. $M$ 에 대한 dependency가 없이 풀려면 당연히 NP-hard이다. 그냥 DP를 하면 $O(n^2M)$ 이다. 각 숫자를 prefix sum으로 처리하면 $O(nM^2)$이다. Generating function으로 $O(nM \log nM)$ 에 푸는 풀이가 비교적 최근에 발견되었다. 꽤 깔끔한 $O(nM)$ 풀이를 서술 일단 첫 번째 Lemma는, 이 문제를 모든 수가 [-M, M] 인 multiset S에서 합이 1 = F[j][k + a[i]]..