공산주의 유머

(출처는 https://algorithmsoup.wordpress.com/2018/09/18/soviet-version-of-cantors-diagonalization-argument/ 이다.)

소비에트 연방에는 무한히 많은 인민들이 있다.

최근 공산당에 대해서 불만을 느낀 인민들은 지하조직을 결성하게 되었다. 그래서 모든 인민의 부분집합에 대해 이에 대응되는 지하조직이 생겼다. 이 중에는 공집합인 지하조직도 있고, 모든 인민을 포함하는 지하조직도 있다.

지하조직은 국가에 불안정을 줄 수 있으니, 공산당은 이 문제를 "해결"하기 위해 모든 인민들에 대해 정확히 하나의 지하조직을 감시하게 시켰다. 각 인민들이 감시하는 지하조직은 서로 다르다.

만약에 어떠한 인민이 자신이 속하는 지하조직을 감시하면 이 인민은 행복하다. (별 일 없다고 보고하면 되니까? ㅎㅎ) 반대로, 자신이 속하지 않는 지하조직을 감시하면 이 인민은 행복하지 않다.

인민이 무한하니까 모든 지하조직을 감시했겠거니 했지만 문제가 생겼다. 모든 부분집합에 대해 대응되는 지하조직이 있으니, 모든 행복하지 않은 사람들을 포함하는 지하조직도 분명히 있을 것이다. 이 집합을 $S$ 라고 하자.

이 지하조직은 절대 감시되지 않는다. 이걸 감시하는 사람을 $x$ 라고 하자. 그렇다면:

• $x \in S$ 라고 하면, 이 사람은 행복하지 않다 ($S$ 에 속하니까). 근데 이 사람은 자신이 속하는 지하조직을 감시한다. 고로 행복하다.
• $x \notin S$ 라고 하면, 이 사람은 행복하다 ($S$ 에 안 속하니까). 근데 이 사람이 감시하는 지하조직에 자신은 속하지 않는다. 고로 행복하지 않다.

고로 그 지하조직은 어떻게 하더라도 감시가 되지 않고, 인민의 수보다 지하조직의 수가 더 크다. Corollary로, 정수 집합의 크기보다 실수 집합의 크기가 크지만, 무한 사이의 비교가 어떻든 사회주의 지상락원 건설에는 크게 도움이 되지 않으니 중요하지 않다.